Séminaire de mathématiques d'été à l'UQAM

Introduits en 1934, certaines facettes des groupes de Coxeter sont encore incomprises. Nous verrons la définition de ces groupes et nous nous concentrerons sur le concept de mots réduits. C'est au début des années 90 que Brink et Howlett ont trouvé une façon d'énumérer les mots réduits d'un groupe de Coxeter donné à l'aide d'automates, mais leur solution est plutôt complexe et pas très optimale. Si le temps nous le permet, j'essaierai donc d'amener la construction de Hohlweg, Nadeau et William utilisant les ensembles de Garside; sujet sur lequel je travaille actuellement. Une simple base de la théorie des groupes et de l'algèbre linéaire est nécessaire à la compréhension de l'exposé.

Le théorème du point fixe de Brouwer stipule qu'une fonction continue d'une boule vers elle-même admet nécessairement un point fixe (c'est-à-dire un point $x$ où $f(x)=x$). J'exposerai une preuve de ce théorème qui utilise la théorie des graphes. Si on a suffisamment de temps, je montrerai comment on peut déduire de ce théorème une ludique application combinatoire. Il n'y a pas de préalable particulier.

On étudiera les ingrédients essentiels de la preuve du « paradoxe » de Banach-Tarski, qui dit (en supposant vrai l'axiome du choix!) qu'il est possible de doubler le volume d'une boule dans l'espace en la décomposant en un nombre fini de parties et en leur appliquant des translations et des rotations seulement (i.e., la boule est « équidécomposable » à deux copies d'elle-même, un résultat faux en dimension deux).

L'étude des revêtements est un outil important en topologie algébrique qui permet de démontrer plusieurs théorèmes classiques. De l'analyse à la topologie, en passant par l'algèbre, les revêtements sont surprenants par leur richesse et par l'élégance des preuves qu'ils fournissent. L'objectif de la présentation est d'introduire cette notion et de donner un aperçu des possibilités qui y sont liées.